Question

5．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠AOC=2∠ACD；
（2）若将已知条件中的“CD是⊙O的切线，C为切点”替换为“∠AOC=2∠ACD”，那么CD是⊙O的切线吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）连接BC，先根据弦切角定理得出∠ACD=∠B，再由OB=OC和已知条件即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠ACB=90°，再由OB=OC以及外角关系和已知条件得出∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠ACD=∠B，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC=∠B+∠OCB=2∠B，
∴∠AOC=2∠ACD；
（2）CD是⊙O的切线；理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，∠AOC=2∠ACD，
∴∠OCB=∠ACD，
∴∠ACD+∠ACO=90°，
即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定与性质、弦切角定理、圆周角定理、等腰三角形的性质；根据圆的有关定理得出角之间的关系是解决问题的关键．