Question

14．如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x，y轴上，已知OA=3，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），CD=5，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段A-C-B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒
（1）求B，C两点坐标；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数关系式；
②当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，求点E的坐标；
（3）在（2）②情况下，直线OP上求一点F，使FE+FA最小．

Answer 1

分析 （1）由四边形OACB是矩形，得到BC=OA=3，在R_t△BCD中，由勾股定理得到BD=$\sqrt{{CD}^{2}{-BC}^{2}}$=4，OB=5，从而求得点的坐标；
（2）①当点P在AC上时，OD=1，BC=3，S=$\frac{3}{2}$，当点在BC上时，OD=1，BP=5+3-t=8-t，得到S=$\frac{1}{2}$×1×（8-t）=-$\frac{1}{2}$t+4；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，得到点D的对称点是（1，0），求得E（1，0）；
（3）由点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，找到点F，从而确定AD的长度就是AF+EF的最小值，在R_t△AOD中，由勾股定理求得AD=$\sqrt{{OD}^{2}{+AO}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，即AF+EF的最小值=$\sqrt{10}$．

解答 解（1）∵四边形OACB是矩形，
∴BC=OA=3，
在R_t△BCD中，∵CD=5，BC=3，
∴BD=$\sqrt{{CD}^{2}{-BC}^{2}}$=4，
∴OB=5，
∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①当点P在AC上时，OD=1，BC=3，
∴S=$\frac{3}{2}$，
当点在BC上时，OD=1，BP=5+3-t=8-t，
∴S=$\frac{1}{2}$×1×（8-t）=-$\frac{1}{2}$t+4；（t≥0）
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，点D的对称点是（1，0），
∴E（1，0）；

（3）如图2∵点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，
则AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求．

点评 本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，动点问题，求三角形的面积，根据轴对称的性质求对称点，求线段和的最小值．