Question

4．如图，已知直线m的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．
（1）求△ABC的面积；
（2）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B坐标，进而得出AB长，即可求出△ABC的面积；
（2）利用同底等高的两三角形面积相等得出点P是过点C平行于AB的直线与直线x=1的交点，再利用对称性求出点P'的坐标．

解答 解：（1）令x=0，则y=1，
∴B（0，1），令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=2，
∴A（2，0），
∴AB=$\sqrt{5}$，
∵线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$；
（2）如图，
过点C作CE⊥OA于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAE=90°，
∴∠BAO=∠ACE，
在△OAB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CEA=90°}\\{∠BAO=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△CEA，
∴AE=OB=1，CE=OA=2，
∴OE=OA+AE=3，
∴C（3，2），
过点C作CP∥AP交直线x=1于P，此时△ABP的面积与△ABC的面积相等．
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
当x=1时，y=3，
∴P（1，3），
∵点D（1，0），A（2，0），
∴点D是OA的中点，
∴F是AB中点，即：F（1，$\frac{1}{2}$），
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等．
∴点P'在直线x=1上，且点F是PP'中点，
∴P'（1，-2），
即：满足条件的点P的坐标为（1，3）或（1，-2）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两三角形面积相等，解（1）的关键是求出AB，解（2）的关键是求出点C的坐标．