Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC=60°，延长BA至点P使AP=AC， 作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D. 连结PC，BD.

(1)求证：PC为⊙O的切线；

(2)求证：BD=PA；

(3)若PC=，求AE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC, PC是⊙O切线，只要证明OC⊥PC即可;

（2）连结AD,根据相等的圆周角所对的弦相等，得出AD=BD，进而利用勾股定理得出，再由△ACO为等边三角形，得出结论;

（3）根据∠DBA=∠ACE=45°, ∠P=∠PCA=30°,得出PC=PE=,再利用勾股定理得出CO=6，PO=12，进而得出结论.

解：（1）连接OC，

,

∵∠BAC=60°，且OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=60°.

∵AP=AC，且∠P+∠PCA=∠BAC=60°，

∴∠P=∠PCA=30°.

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=90°.

∴PC为切线.

(2)连结AD.

∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCD=45°.

∴AD=BD.

∵在Rt△ADB中，.

∴

又∵OA=OC，∠CAO=60°，

∴△ACO为等边三角形，

∴AC=CO=AO.

∴.

∴BD=PA ;

(3) ∵∠DBA=∠ACE=45°, ∠P=∠PCA=30°,

∴，

∴

∴PC=PE=.

又在Rt△PCO中，OP=OA+PA=2OC，，

∴CO=6，PO=12.

∴

∴