Question

6．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与y轴相交于C，与x轴帕交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在．说明理由．

Answer 1

分析 （1）理由待定系数法即可解决问题．
（2）存在．思想求出直线AC、BC的解析式，分三种情形讨论．当CP₁=CA=$\sqrt{5}$时，当CP₂=CA时，当P₃C=P₃A时，分别求解即可．

解答 解：（1）把点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{2+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1．

（2）存在．
理由：对于抛物线$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=0，解得x=2或-1，
∴B（-1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为y=-x-1．
∵A（2，0），C（0-1），
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当CP₁=CA=$\sqrt{5}$时，P₁B=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，P₁（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}-2}{2}$），
当CP₂=CA时，P₂（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），
当P₃C=P₃A时，易知直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴线段AC的垂直平分线的解析式为y=-2x+$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-2x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴P₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．
综上所述．点P的坐标为（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}-2}{2}$）或（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．