Question

17．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{2y（x≥0）}\\{-2y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“亲密点”．
例如：点（5，3）的“亲密点”为点（5，6），点（-5，3）的“亲密点”为点（-5，-6）．
（1）①判断点（-1，3）的“亲密点”是否在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，并说明理由．
②若位于x轴上方的两点（2k，k）和（-3，k）的“亲密点”都在某反比例函数图象上，请求出该反比例函数的解析式．
（2）如果点M（m+1，4m）是一次函数y=x+3图象上点N的“亲密点”，求点N的坐标．
（3）如果点P在函数y=-x²+4（-2.5＜x≤a）的图象上，其“亲密点”Q的纵坐标y′的取值范围是-8＜y′≤8，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①先求得点（-1，3）的“亲密点”为（-1，-6），然后将点（-1，-6）代入反比例函数的解析式进行判断即可；②先求得已知两点的密友点的坐标，然后依据点（2k，2k）和点（-3，-2k）都在反比例函数的图象上列出关于k的方程可求得k的值，然后可得到点（2k，2k）或点（-3，-2k）的坐标，然后可求得而反比例函数的解析式；
（2）设点N的坐标为（x，x+3），分为x≥0和x＜0两种情况求得点M的坐标（用含x的式子表示），然后由点M的坐标为（m+1，4m）得到x=m+1，-2x-6=4m，然后可求得x的值，从而得到点N的坐标；
（3）设点P的坐标为（x，-x²+4）．当x≥0时，Q（x，-2x²+8），当x＜0时，Q（x，2x²-8），即y′=2x²-8，然后依据-8＜y′≤8列不等式组可求得x的范围，从而可得到a的值．

解答 解：（1）①∵-1＜0，
∴y′=-2×3=-6，
∴点（-1，3）的“亲密点”是（-1，-6）．
∵-1×（-6）=6，
∴点（-1，3）的“亲密点”在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上．
②∵（2k，k）和（-3，k）位于x轴上方，
∴k＞0，
∴2k＞0．
∴点（2k，k）的“亲密点”是（2k，2k）．
∵-3＜0，
∴点（-3，k）的“亲密点”是（-3，-2k）．
∵点（2k，2k）和点（-3，-2k）都在反比例函数的图象上，
∴2k•2k=-3•（-2k），整理得：4k²-6k=0，解得k=$\frac{3}{2}$或k=0（舍去）．
∴6k=6×$\frac{3}{2}$=9．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{x}$．

（2）设点N的坐标为（x，x+3）．
当x≥0时，点M的坐标为（x，2x+6）．
∴x=m+1，2x+6=4m．
∴2x+6=4（x-1），解得：x=5．
∴点N的坐标为（5，8）．
当x＜0时，点M的坐标为（x，-2x-6）．
∴x=m+1，-2x-6=4m．
∴-2x-6=4（x-1），解得x=-$\frac{1}{3}$．
∴N（-$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
（3）设点P的坐标为（x，-x²+4）．
当x≥0时，Q（x，-2x²+8），即y′=-2x²+8．
∵-8＜y′≤8，
∴-8＜-2x²+8≤8，解得：0≤x≤2$\sqrt{2}$．
当x＜0时，Q（x，2x²-8），即y′=2x²-8．
∵-8＜y′≤8，
∴-8＜2x²-8≤8，解得：-2$\sqrt{2}$≤x＜0．
∴x的取值范围-2$\sqrt{2}$≤0≤2$\sqrt{2}$．
又∵-2.5＜x≤a，
∴a=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了密友点的定义，依据密友点的定义列出方程或不等式是解题的关键．