Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的四个顶点分别在边AC、AB、CB上．
（1）求证：△ADE∽△GBF；
（2）求正方形DEFG的边长；
（3）连结CE、CF分别交DG于点P、Q．求证：PQ²=PD•QG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据同角的余角相等即可证得∠ADE=∠B，然后根据有两个角对应相等的三角形相似即可证得；
（2）设正方形DEFG的边长是x，然后根据△CDG∽△CAB，依据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解；
（3）根据△ADE∽△GBF，以及正方形的性质可得EF²=AE•BF，根据相似三角形的性质得到则

DP

AE

=

QG

BF

=

PQ

EF

，据此即可证得．

解答：证明：（1）∵直角△ADE中，∠A+∠ADE=90°，
又∵直角△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠AED=∠GFB，
∴△ADE∽△GBF；
（2）在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
则AB边上的高是：

3×4

5

=2.4，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴设正方形DEFG的边长是x，则

x

5

=

2.4-x

2.4

，
解得：x=

60

37

；
（3）∵△ADE∽△GBF，
∴

DE

AE

=

BF

GF

，则DE•GF=AE•BF，
又∵EF=DE=GF，
∴EF²=AE•BF，
∵DP∥AE，
∴△CDP∽△CAE，
∴

CD

AC

=

DP

AE

，
同理，

CD

AC

=

PQ

EF

=

QG

BF

，
则

DP

AE

=

QG

BF

=

PQ

EF

，
∴

DP•DQ

AE•BF

=

PQ•EF

EF2

，
∴PQ²=PD•QG．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，是一道综合题目，正确对比例式进行变化是关键，题目难度较大．