Question

如图，在△ABC中，AB=AC，tanC=3，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F，且BD=2EF．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）连接AE，若⊙O的半径r=3，求线段AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OE，如图，由AB=AC得∠B=∠C，由OB=OE得∠B=∠OEB，则∠OEB=∠C，根据平行线的判定得到OE∥AC，而EF⊥AC，则根据平行线的性质得OE⊥EF，于是可根据切线的判定定理得到结论；
（2）连结DE，如图，易得BD=6，EF=3，在Rt△CEF中，利用∠C的正切可计算出FC=1，则根据勾股定理可计算出CE=

10

，再证明Rt△BDE∽△CEF，利用相似比计算出BE=

3 10

5

，接着证明△BOE∽△BAC，利用相似比计算出AC=8，则AF=AC-CF=7，然后在Rt△AEF中根据勾股定理可计算出AE．

解答：（1）证明：连结OE，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=∠C，
∴OE∥AC，
而EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：连结DE，如图，
∵r=3，
∴BD=6，
而BD=2EF，
∴EF=3，
在Rt△CEF中，
∵tanC=

EF

FC

=3，
∴FC=1，
∴CE=

CF2+EF2

=

10

，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
而∠B=∠C，
∴Rt△BDE∽△CEF，
∴

BE

CF

=

BD

EC

，即

BE

1

=

6

10

，
∴BE=

3 10

5

，
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴

OE

AC

=

BE

BC

，即

3

AC

=

3 10 5

3 10 5 + 10

，
∴AC=8，
∴AF=AC-CF=7，
在Rt△AEF中，∵EF=3，AF=7，
∴AE=

EF2+AF2

=

58

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．