Question

如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°．
（1）根据下列语句作图并保留作图痕迹：作Rt△ABC的外接圆⊙O，过点A作⊙O的切线PA与AB的垂直平分线交于点P．
（2）连接PB，求证：PB是⊙O的切线；
（3）已知PA=AB=，求线段PA、PB与弧AB围成的图形的面积．

Answer 1

（1）解：如图所示：

（2）证明：∵点P、O在AB垂直平分线上，
∴PA=PB，AO=BO，
∴∠PAB=∠PBA，
∠OAB=∠OBA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O切线；

（3）解：∵PA，PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵PA=AB=，
∴PA=AB=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴r=1，∠AOB=60°，∠AOB=120°，
∴S_{四边形AOBP}=×1××2=，
S_扇形AOB=π，
所求图形的面积为（-π）平方厘米．
分析：（1）利用直角三角形外接圆的性质，直接找到斜边中点求出即可；
（2）利用切线的性质与判定，得出∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°，即可得出答案；
（3）根据（2）中所求，可以得出△PAB是等边三角形，进而得出r=1，∠AOB=60°，∠AOB=120°，即可求出所求图形的面积．
点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法和做复杂图形，根据已知得出正确图形是解题关键．