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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y= 的图象经过点D,与BC的交点为N.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.

【答案】
(1)

解:∵正方形OABC的顶点C(0,3),

∴OA=AB=BC=OC=3,∠OAB=∠B=∠BCO=90°,

∵AD=2DB,

∴AD= AB=2,

∴D(﹣3,2),

把D坐标代入y= 得:m=﹣6,

∴反比例解析式为y=﹣

∵AM=2MO,

∴MO= OA=1,即M(﹣1,0),

把M与D坐标代入y=kx+b中得:

解得:k=b=﹣1,

则直线DM解析式为y=﹣x﹣1;


(2)

解:把y=3代入y=﹣ 得:x=﹣2,

∴N(﹣2,3),即NC=2,

设P(x,y),

∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,

(OM+NC)OC= OM|y|,即|y|=9,

解得:y=±9,

当y=9时,x=﹣10,当y=﹣9时,x=8,

则P坐标为(﹣10,9)或(8,﹣9)


【解析】(1)由正方形OABC的顶点C坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据AD=2DB,求出AD的长,确定出D坐标,代入反比例解析式求出m的值,再由AM=2MO,确定出MO的长,即M坐标,将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;(2)把y=3代入反比例解析式求出x的值,确定出N坐标,得到NC的长,设P(x,y),根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求出y的值,进而得到x的值,确定出P坐标即可.此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式,坐标与图形性质,正方形的性质,以及三角形面积计算,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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