【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y= 的图象经过点D,与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
【答案】
(1)
解:∵正方形OABC的顶点C(0,3),
∴OA=AB=BC=OC=3,∠OAB=∠B=∠BCO=90°,
∵AD=2DB,
∴AD= AB=2,
∴D(﹣3,2),
把D坐标代入y= 得:m=﹣6,
∴反比例解析式为y=﹣ ,
∵AM=2MO,
∴MO= OA=1,即M(﹣1,0),
把M与D坐标代入y=kx+b中得: ,
解得:k=b=﹣1,
则直线DM解析式为y=﹣x﹣1;
(2)
解:把y=3代入y=﹣ 得:x=﹣2,
∴N(﹣2,3),即NC=2,
设P(x,y),
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,
∴ (OM+NC)OC= OM|y|,即|y|=9,
解得:y=±9,
当y=9时,x=﹣10,当y=﹣9时,x=8,
则P坐标为(﹣10,9)或(8,﹣9)
【解析】(1)由正方形OABC的顶点C坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据AD=2DB,求出AD的长,确定出D坐标,代入反比例解析式求出m的值,再由AM=2MO,确定出MO的长,即M坐标,将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;(2)把y=3代入反比例解析式求出x的值,确定出N坐标,得到NC的长,设P(x,y),根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求出y的值,进而得到x的值,确定出P坐标即可.此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式,坐标与图形性质,正方形的性质,以及三角形面积计算,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】下列说法:
(1)在同一平面内,不相交的两条直线一定平行.(2)在同一平面内,不相交的两条线段一定平行.(3)相等的角是对顶角.(4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.(5)两条平行线被第三条直线所截,一对内错角的角平分线互相平行.其中,正确说法的个数是( )
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,在平面直角坐标xOy中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 的图象都经过点A(2,﹣2).
(1)分别求这两个函数的表达式;
(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B,与反比例函数图象在第四象限内的交点为C,连接AB,AC,求点C的坐标及△ABC的面积.
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【题目】如图,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是( )
A.16cm
B.18cm
C.20cm
D.21cm
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【题目】如图,已知抛物线m:y=ax2﹣6ax+c(a>0)的顶点A在x轴上,并过点B(0,1),直线n:y=﹣ x+ 与x轴交于点D,与抛物线m的对称轴l交于点F,过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7,7).
(1)求抛物线m的解析式;
(2)P是l上的一个动点,若以B,E,P为顶点的三角形的周长最小,求点P的坐标;
(3)抛物线m上是否存在一动点Q,使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙、丙三个布袋都不透明,甲袋中装有1个红球和1个白球;乙袋中装有一个红球和2个白球;丙袋中装有2个白球.这些球除颜色外都相同.从这3个袋中各随机地取出1个球. ①取出的3个球恰好是2个红球和1个白球的概率是多少?
②取出的3个球全是白球的概率是多少?
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