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【题目】在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点P在线段BC上(不与点B重合),E在BO上,且∠BPE=,过点B作PE交PE的延长线于F,交AC于点G.

(1)当点P与点C重合时(如图1),填空△BOG≌_________ =_________

(2)当点P不与点C重合时(图2),猜想:的值为_________.并证明你的结论;

(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,则直接写出的值.

【答案】(1)△POE,(2)(3)tanα.

【解析】

试题分析:(1)∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°.∵PF⊥BG,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°﹣∠BGO,∠EPO=90°﹣∠BGO.∴∠GBO=∠EPO.∴△BOG≌△POE(AAS).∴PE=BG,∵∠BPE=,∴∠BPE=∠GPF,∵PF⊥BG,∴BF=BG,∴=,故答案为△POE,

(2)证明如下:如图2,

过P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB.∵∠OBC=∠OCB=45°,∴∠NBP=∠NPB.∴NB=NP.∵∠MBN=90°﹣∠BMN,∠NPE=90°﹣∠BMN,∴∠MBN=∠NPE.∴△BMN≌△PEN(ASA).∴BM=PE.∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF.∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=90°.∵PF=PF,∴△BPF≌△MPF(ASA).∴BF=MF,即BF=BM.∴BF=PE,即: =.故答案为

(3)如图2,过P作PM∥AC交BG于点M,交BO于点N,

∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=90°.由(2)同理可得,BF=BM,∠MBN=∠EPN. ∵∠BNM=∠PNE=90°,∴△BMN∽△PEN.∴.在Rt△BNP中,tanα=,∴=tanα,即: =tanα.∴=tanα.

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