Question

8．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的$\frac{1}{4}$时．
（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；
（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到OC、OM的长，从而可以求得MN的长；
（2）根据题目中的数据可以求得阴影部分的面积，从而可以求得油桶中存贮油的体积．

解答 解：（1）如图，连接OM，
∵AB=80cm，BC为直径的$\frac{1}{4}$，
∴OM=OB=40cm，BC=20cm，
∴OC=20cm，
∴MC=$\sqrt{O{M}^{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{4{0}^{2}-2{0}^{2}}=20\sqrt{3}$cm，
∴MN=2CM=40$\sqrt{3}$cm；
（2）∵OC=20cm，OM=40cm，
∴sin∠OMC=$\frac{OC}{OM}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$，
∴∠OMC=30°，
∴∠MOC=60°，
∴∠MON=120°，
∴阴影部分的面积是：$\frac{120×π×4{0}^{2}}{360}-\frac{40\sqrt{3}×20}{2}$=$\frac{1600π}{3}-400\sqrt{3}$，
∵油桶的高为120cm，
∴油桶中存贮油的体积是：（$\frac{1600π}{3}-400\sqrt{3}$）×120=64000π-48000$\sqrt{3}$，
即油桶中存贮油的体积是（64000π-48000$\sqrt{3}$）cm³．

点评 本题考查垂径定理的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．