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    △ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心．证明：OE丄CD．

    解：设AM为高亦为中线，取AC中点F，
    ∵E是△ACD的重心，
    ∴E必在DF上，且DE：EF=2：1．
    设CD交AM于G，G必为△ABC重心．连GE，MF，MF交DC于K．
    ∴DG=CD，GK=DK-DG=DC-DC，
    ∴DG：GK=DC：（）DC=2：1，
    ∴DG：GK=DE：EF，
    ∴GE∥MF，
    ∵OD丄AB，MF∥AB，
    ∴OD丄MF，
    ∴OD丄GE，
    又OG丄DE，
    ∴G又是△ODE之垂心，
    ∴OE丄CD．
    分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE：EF=2：1．设CD交AM于G，G必为△ABC重心．
    连GE，MF，MF交DC于K．易证：DG：GK=DC：（）DC=2：1．∴DG：GK=DE：EF?GE∥MF．
    ∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF?OD丄GE．但OG丄DE?G又是△ODE之垂心．易证OE丄CD．
    点评：此题综合考查了外心、重心和垂心的概念和性质，证明过程复杂，难度大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．
    （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；
    （2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应；
    （3）填空：在（2）中，设原△ABC的外心为M，△A2B2C2的外心为M，则M与M2之间的距离为
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC=4∠OMN，
    ∠ACB=6∠OMN．求∠OMN的大小．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知△ABC的外心为0，过点B、C任意作一圆，分别与AB、AC的延长线交于点E、F．求证：AO⊥EF．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：
    1
    AD
    +
    1
    BE
    +
    1
    CF
    =
    2
    R
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （本小题满分6分）
    在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系.

    （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；
    （2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应；
    （3）填空：在（2）中，设原△ABC的外心为M，△A2B2C2的外心为M，则M与M2之间的距离为       .

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