Question

1．如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠C=$\frac{3}{5}$，OD=1，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切线；
（2）由tan∠C=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{OA}{AC}$=$\frac{3}{5}$，则可设AC=5x，则AO=3x，由勾股定理，求得OC=$\sqrt{34}$x，继而可表示出AC=CD=5x，可得OC=5x+1，即可得方程$\sqrt{34}$x=5x+1，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵∠CAD=∠CDA，∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∵tan∠C=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴设OA=3x，则AC=5x，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{34}$x，
∵AC=CD，
∴AC=CD=5x，
∵OD=1，
∴OC=5x+1，
∴5x+1=$\sqrt{34}$x，
解得：x=$\frac{5+\sqrt{34}}{9}$，
∴AC=5x=$\frac{25+5\sqrt{34}}{9}$．

点评 此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．