Question

19．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果a_n（n是正整数）表示这个数列的第n项，那么a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；
（2）如果欲求1+2+2²+2³+…+2²⁰的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰①
将①式两边同乘2，得
2S=2+2²+2³+…+2²⁰+2²¹    ②
由②减去①式，得
S=2²¹-1．
（3）请你仿照（2）中的解题思路求：1+6+6²+6³+6⁴+…+6¹⁰的值．

Answer 1

分析 （1）列数2，4，8，16，32，…的每一项与前一项之比是2；所以a₁₈=2×2¹⁷=2¹⁸，a_n=2ⁿ．
（2）等式S=1+2+2²+2³+…+2²⁰的左右两边同乘以2，左边按照同底数幂的乘法进行运算即可得到②，②减去①式时左边与左边减，右边与右边减．
（3）仿照（2），令s=1+6+6²+6³+6⁴+…+6¹⁰…①，将①式两边同乘2得到②，再由②减去①式即可．

解答 （1）答案为：2，
                     2¹⁸，2ⁿ
（2）答案为：2+2²+2³+…+2²⁰+2²¹
                     2²¹-1；
（3）解：设 s=1+6+6²+6³+6⁴+…+6¹⁰…①
则2s=6+6²+6³+6⁴+…+6¹⁰+6¹¹…②
②-①得：s=6¹¹-1
1+6+6²+6³+6⁴+…+6¹⁰=6¹¹-1

点评 本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是认真读题，搞清楚题目所体现的数学思想与方法．