Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C₁上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m的值为

±

3

．

Answer 1

分析：抛物线C₁、C₂关于y轴对称，那么它们的顶点A、B也关于y轴对称，所以AB∥x轴；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，那么CP也必须与x轴平行，即点C、P的纵坐标相同，代入抛物线C₁的解析式中，就能确定点P的坐标，此时能发现AB=CP，即四边形APCB中，AB、CP平行且相等，即该四边形APCB是平行四边形，只要再满足AP=CP（即一组邻边相等），就能判定该四边形是菱形，因此先用m表达出AP、CP的长，再列等式求出m的值．

解答：解：由抛物线C₁：y=-x²+2mx+1知，点A（m，m²+1）、C（0，1）；
∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，
∴点A、B关于y轴对称，则AB∥x轴，且B（-m，m²+1），AB=|-2m|；
若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则  AB∥CP；
在抛物线C₁：y=-x²+2mx+1中，当y=1时，-x²+2mx+1=1，解得 x₁=0、x₂=2m，
∴点P（2m，m²+1）；
∴AB=CP=|2m|，又AB∥CP，则四边形APCB是平行四边形；
若四边形APCB是菱形，那么必须满足AP=CP，即：
（2m）²=（m-0）²+（m²+1-1）²，即：m²=3，
解得 m=±

3

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故答案为：±

3

．

点评：此题主要考查的是菱形和二次函数的综合题，把握好菱形的特点以及轴对称图形的性质即可正确解题．此题的解法较多，若以A、P、C、B为顶点的四边形是菱形，那么△ABC应该是等边三角形，根据这个思路来解题也是比较简便的方法．