Question

如图图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星形状，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______；
（2）图（1）中的点A向下移到BE上时（如图（2））五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；
（3）如图（3），在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的中线，延长CD到F，使FD=CD，延长BE到G，使EG=BE，F、A、G三点是否在一条直线上？说说你的理由．

Answer 1

解：（1）180°；
（2）∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的和不变，仍然为180°．理由如下：
∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，
而∠1+∠CAD+∠2=180°，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（3）F、A、G三点在一条直线上．理由如下：
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
又∵∠ADF=∠BDC，DF=CD，
∴△ADF≌△BDC，
∴∠1=∠DBC，
同理可得△AGE≌△CBE，
∴∠2=∠ECB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴F、A、G三点在一条直线上．
分析：（1）根据三角形内角和定理得到∠A+∠C+∠1=180°，再根据三角形外角性质得到∠1=∠2+∠D，而∠2=∠B+∠E，则∠1=∠B+∠E+∠D，于是有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）三角形外角性质得到∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，再利用平角的定义得到∠1+∠CAD+∠2=180°，从而得到∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（3）由点D为AB的中点得到AD=BD，而∠ADF=∠BDC，DF=CD，根据三角形全等的判定方法得到△ADF≌△BDC，则∠1=∠DBC，同理可得△AGE≌△CBE，则∠2=∠ECB，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，即∠1+∠2+∠BAC=180°，所以F、A、G三点在一条直线上．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质．