Question

6．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、F分别在AB、BC、AD上，如果CE⊥FM，求证：CE=FM．

Answer 1

分析 作FN⊥BC于N，先证明四边形CDFN是矩形，再证明△BCE≌△NFM即可．

解答 证明：作FN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵∠D=∠NCD=∠FNC=90°，
∴四边形CDFN是矩形，
∴FN=CD=BC，
∵EC⊥FM，
∴∠MOC=90°，
∴∠BCE+∠FMN=90°，∠FMN+∠MFN=90°，
∴∠BCE=∠MFN，
在△BCE和△NFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECB=∠MFN}\\{BC=FN}\\{∠B=∠FNM}\end{array}\right.$，
△BCE≌△NFM，
∴EC=FM．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会这种辅助线的添加方法，属于中考常考题型．