【题目】已知,正方形的边长为
是边
上一动点,连接
交
于点
,点
是线段
的垂直平分线与
的交点,连接
,并延长
交边
于点
.
(1)如图1,若求
的度数(用含
的式子表示);
(2)如图2,连接当
点运动时,探究
的周长是否为定值?若是,求其值;若不是,说明理由;
(3)若点为
的中点,则
的面积为 .
【答案】(1);(2)是,其值为12;(3)
.
【解析】
(1)证明△AGB≌△AGD,得出∠ADG=∠ABF=a,再利用三角形外角的性质即可求的度数;
(2)将△BAF绕B点旋转90°得△BCK,证明△EBF≌△EBK得出EF=EK,即△DEF的周长=DE+DF+FE=DE+DF+EK=AD+DC即可求得;
(3)分别证明△AFG∽△CBG,△AGF∽△BGH利用相似三角形边之间关系,面积与相似比之间的关系即可求解.
解:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°,
又∵AG=AG,
∴△AGB≌△AGD,
∴∠ADG=∠ABF=a,
∴;
(2)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°,
如下图,将△BAF绕B点旋转90°得△BCK,
∴CK=AF,∠CBK=∠ABF=a,
∵△AGB≌△AGD,
∴BG=GD,
∵G为BE垂直平分线,
∴BG=GE,
∴BG=GD=GE,
∴∠GED=∠GDE=∠ADC-∠ADG=90°-a,
∴∠DGE=180°-2(90°-a)=2a,
∴∠BGE=∠BGD-∠DGE=2(45°-a)-2a=90°,
∴∠GBE=∠GEB=45°,
∴∠EBK=∠EBC+∠CBK=∠EBC+∠ABF=90°-∠GBE=45°,
在△EBF和△EBK中
∵
∴△EBF≌△EBK(SAS),
∴EF=EK,
∴△DEF的周长=DE+DF+FE=DE+DF+EK=AD+DC=12.
故△DEF的周长是定值,其长为12.
(3)∵F为AD的中点,
∴,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AF∥BC,AD=BC=6,∠BAF=∠ABC=90°,
∴△AFG∽△CBG,,
,
∴,
∴,
设△AFG边AF上的高为m,△CBG边BC上的高为n,则m+n=6,,
解得m=2,n=4,
又∵,
∵∠DAC=∠GBE=45°,∠AGF=∠BGC,
∴△AGF∽△BGH,
∴,
∴,
故答案为:.
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【题目】某校举行全体学生“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个.随机抽取了部分学生的听写结果,绘制成如下的图表.
组别 | 正确字数x | 人数 |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根据以上信息完成下列问题:
(1)统计表中的m= ,n= ,并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)已知该校共有900名学生,如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格,请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数.
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【题目】如图,在直角三角形中,
,点
从
开始沿
边向点
以
的速度移动,点
从点
开始沿
边向点
以
的速度移动.
分别从
同时出发,当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动,
(1)求为何值时,
为等腰三角形?
(2)是否存在某一时刻,使点
在线段
的垂直平分线上?
(3)点在运动的过程中,是否存在某时刻
, 直线
把
的周长分为
两部分?若存在,求出
,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,阳光下,小亮的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段BC所示,线段DE表示旗杆的高,线段FG表示一堵高墙.
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子,并用线段表示;
(2)如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC=2.4m,旗杆的高DE=15m,旗杆与高墙的距离EG=16m,请求出旗杆的影子落在墙上的长度.
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【题目】如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,
(1)求∠APO+∠DCO的度数;
(2)求证:AC=AO+AP.
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【题目】在数学学习中,及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法.善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后,把相关知识归纳整理如下:
(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论:
① ;② ;③ ;④ .
(2)如果点C的坐标为(1,3) ,求不等式的解集.
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【题目】现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解甲、乙两家快递公司比较合适,甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费,乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.
(1)当x>1时,请分別直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,小明选择哪家快递公司更省钱?
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【题目】如图,平面直角坐标系中,,
,点
是
轴上点,点
为
的中点.
(1)求证:;
(2)若点在
轴正半轴上,且
与
的距离等于
,求点
的坐标;
(3)如图2,若点在
轴正半轴上,且
于点
,当四边形
为平行四边形时,求直线
的解析式.
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【题目】某学校七年级举行“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”为主题的一分钟跳绳大赛,校团委组织了全级1000名学生参加为了解本次大赛的成绩,校团委随机抽取了其中100名学生的成绩(成绩取整数,总分100分)作为样本进行统计,制成如下不完整的统计图表根据所给信息,解答下列问题:
(1)m=______,n=_____.
(2)补全频数分布直方图;
(3)若成绩在80分以上(包括80分)为“优”,请你估计该校七年级参加本次比赛的1000名学生中成绩是“优”的有多少人
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