Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，，，点是轴上点，点为的中点．

（1）求证：；

（2）若点在轴正半轴上，且与的距离等于，求点的坐标；

（3）如图2，若点在轴正半轴上，且于点，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由A与B的坐标确定OA和OB的长，进而确定B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可证明；

（2）作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标；由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理求出OA的长，即可确定C的坐标；

（3）当四边形ABDE为平行四边形，可得AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE；再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标；设直线AC解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可确定的解析式．

解：（1），，

，，

是的中点，

又是的中点，

是的中位线，

．

（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，3）；

∵BD∥AC，BD与AC的距离等于1，

∴BF=1，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，点G为AB的中点，

∴FG=BG=AB=1，

∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°.

∴∠BAC=30°，

设OC=x，则AC=2x，

根据勾股定理得：

∵OA=4

∴．

．

（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形，

∴AB∥DE，

∴DE⊥OC，

∵点D为OC的中点，

∴OE=EC，

∵OE⊥AC，

∴∠0CA=45°，

∴OC=0A=4，

∴点C的坐标为（4，0）或（-4，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）.

由题意得：解得：

直线的解析式为．