Question

【题目】如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，

（1）求∠APO+∠DCO的度数；

（2）求证：AC=AO+AP.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）见解析。

【解析】

（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；

(2) 在AC上截取AE=PA，先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．

解：（1）如图1，连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=

∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

故答案为：30°；

(2)如图2，在AC上截取AE=PA

，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，

∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP