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【题目】如图,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).

(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;

(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和BOC的面积分别为S四边形MAOC和SBOC,记S=S四边形MAOCSBOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;

(3)如图,将抛物线F1沿y轴翻折并复制得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A、B、M,过点M作MEx轴于点E,交直线AC于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2x+4;2最大值为;M(,5);3(2,0)或(,0)

【解析】

试题分析:1利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标,然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式;2由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,a2a+4),然后分别计算S四边形MAOC和SBOC,过点M作MDx轴于点D,则S四边形MAOC的值等于ADM的面积与梯形DOCM的面积之和;3由于没有说明点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A的右边时,此情况是不存在;当点P在A的左边时,此时DAP=CAB,若以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似,则分为以下两种情况进行讨论:==

试题解析:解:(1)令y=0代入y=x+4

x=﹣3

A﹣30),

x=0,代入y=x+4

y=4

C04),

设抛物线F1的解析式为:y=ax+3)(x﹣1),

C04)代入上式得,a=﹣

y=﹣x2x+4

2)如图,设点Maa2a+4

其中﹣3a0

B10),C04),

OB=1OC=4

S△BOC=OBOC=2

过点MMPx轴于点P

MP=﹣a2a+4AP=a+3OP=﹣a

S四边形MAOC=APMP+MP+OCOP

=APMP+OPMP+OPOC

=+

=+

=×3a2a+4+×4×﹣a

=﹣2a2﹣6a+6

S=S四边形MAOC﹣S△BOC

=﹣2a2﹣6a+6﹣2

=﹣2a2﹣6a+4

=﹣2a+2+

a=﹣时,

S有最大值,最大值为

此时,M5);

3)如图,由题意知:M′),﹣10),A′30

AB′=2

设直线A′C的解析式为:y=kx+b

A′30)和C04)代入y=kx+b

得:

y=﹣x+4

x=代入y=﹣x+4

y=2

由勾股定理分别可求得:AC=5DA′=

Pm0

m3时,

此时点PA′的左边,

∴∠DA′P=CAB′

=时,DA′P∽△CAB′

此时,=3﹣m),

解得:m=2

P20

=时,DA′P∽△B′AC

此时,=3﹣m

m=﹣

P0

m3时,

此时,点PA′右边,

由于CB′O≠∠DA′E

∴∠AB′C≠∠DA′P

此情况,DA′PB′AC不能相似,

综上所述,当以A′DP为顶点的三角形与AB′C相似时,点P的坐标为(20)或(0).

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简单应用:

(1)在图①中,若AC=,BC=,则CD=

(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的长.

拓展规律:

(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)

(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE=AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是

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