【题目】如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).
(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;
(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4;(2)最大值为;M(﹣,5);(3)(2,0)或(﹣,0)
【解析】
试题分析:(1)利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标,然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式;(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,﹣a2﹣a+4),然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC,过点M作MD⊥x轴于点D,则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和;(3)由于没有说明点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A′的右边时,此情况是不存在;当点P在A′的左边时,此时∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似,则分为以下两种情况进行讨论:①=;②=.
试题解析:解:(1)令y=0代入y=x+4,
∴x=﹣3,
A(﹣3,0),
令x=0,代入y=x+4,
∴y=4,
∴C(0,4),
设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
把C(0,4)代入上式得,a=﹣,
∴y=﹣x2﹣x+4,
(2)如图①,设点M(a,﹣a2﹣a+4)
其中﹣3<a<0
∵B(1,0),C(0,4),
∴OB=1,OC=4
∴S△BOC=OBOC=2,
过点M作MP⊥x轴于点P,
∴MP=﹣a2﹣a+4,AP=a+3,OP=﹣a,
∴S四边形MAOC=APMP+(MP+OC)OP
=APMP+OPMP+OPOC
=+
=+
=×3(﹣a2﹣a+4)+×4×(﹣a)
=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC
=(﹣2a2﹣6a+6)﹣2
=﹣2a2﹣6a+4
=﹣2(a+)2+
∴当a=﹣时,
S有最大值,最大值为
此时,M(﹣,5);
(3)如图②,由题意知:M′(),
∴AB′=2,
设直线A′C的解析式为:y=kx+b,
把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,
得:,
∴
∴y=﹣x+4,
令x=代入y=﹣x+4,
∴y=2
∴
由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=
设P(m,0)
当m<3时,
此时点P在A′的左边,
∴∠DA′P=∠CAB′,
当=时,△DA′P∽△CAB′,
此时,=(3﹣m),
解得:m=2,
∴P(2,0)
当=时,△DA′P∽△B′AC,
此时,=(3﹣m)
m=﹣,
∴P(﹣,0)
当m>3时,
此时,点P在A′右边,
由于∠CB′O≠∠DA′E,
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似,
综上所述,当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时,点P的坐标为(2,0)或(﹣,0).
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】问题背景:
如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论:AC+BC=CD.
简单应用:
(1)在图①中,若AC=,BC=,则CD= .
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的长.
拓展规律:
(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)
(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE=AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
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【题目】要了解某市九年级学生的视力状况,从中抽查了500名学生的视力状况,那么样本是指( )
A. 某市所有的九年级学生
B. 被抽查的500名九年级学生
C. 某市所有的九年级学生的视力状况
D. 被抽查的500名学生的视力状况
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【题目】我市教育行政部门为了了解七年级学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查了某校七学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求出扇形统计图中的a的值,并求出该校七年级学生总数;
(2)分别求出活动时问为5天、7天的学生人数,并补全频数分布直方图;
(3)求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数;
(4)如果该市共有七年级学生6000人,请你估计“活动时间不小于4天”的大约有多少人?
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【题目】在平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别为(﹣6,7)、(﹣3,0)、(0,3).
(1)画出△ABC,并求△ABC的面积;
(2)在△ABC中,点C经过平移后的对应点为C′(5,4),将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′, 画出平移后的△A′B′C′,并写出点A′,B′的坐标;
(3)已知点P(﹣3,m)为△ABC内一点,将点P向右平移4个单位后,再向下平移6个单位得到点Q(n,﹣3),则m= ,n= .
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