Question

如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．
（1）求证：△DBP∽△EPC；
（2）当点P在什么位置时，S_{四边形ADPE}=S_△ABC？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ADPE为平行四边形
∴PD∥AC，PE∥AB
∴∠BPD=∠C，∠BDP=∠A=∠PEC
∴△DBP∽△EPC；

（2）解：当P为BC中点时S_{四边形ADPE}=S_△ABC，
因为四边形ADPE为平行四边形，所以D、E分别为AB、AC的中点
∴S_△DPB=S_△EPC=S_△ABC，
∴S_△DPB+S_△EPC=S_△ABC．
分析：（1）因为四边形ADPE为平行四边形，所以有PE和AB平行，PD和AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出两组对应角相等，从而证明相似．
（2）当P为BC中点时，因为四边形ADPE为平行四边形，所以此时D、E分别为AB、AC的中点，利用三角形面积之间的关系可得出结论S_{四边形ADPE}=S_△ABC．
点评：本题难易中等，考查平行四边形的基本性质，和三角形中位线的应用．