Question

21、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．
（1）求证：OC=OF；
（2）在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边为2，求正方形FGHK的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，OE，则OD=OE，求证：OC=OF，可以转化为求证Rt△DOC≌Rt△EOF．
（2）连接OH，在Rt△OEF中勾股定理得到OE，然后在Rt△OHG中根据勾股定理，得到关于设正方形FGHK的边长为x的方程，就可以求出x的值．得到正方形的面积．

解答：证明：（1）连接OD，OE，则OD=OE，
∵四边形CDEF为正方形
∴CD=FE，∠DCO=∠EFO=90°，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF．（4分）

（2）连接OH，设正方形FGHK的边长为x．（5分）
由已知及（1）可得EF=2，OF=1．
在Rt△OEF中，OE²=OF²+EF²=1²+2²=5．（6分）
在Rt△OHG中，OH²=OG²+GH²，OE=OH，
∴5=（1+x）²+x²．（7分）
整理得x²+x-2=0．
解得x₁=-2（不合题意，舍去），x₂=1．（8分）
∴x²=1
∴正方形FGHK的面积为1．（9分）

点评：证明两条线段相等的问题可以转化为证明三角形全等．