【题目】如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以3cm/s的速度向A点运动.设运动时间为x(s).
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当△APQ与△CQB相似时,AP的长为;
(3)当S△BCQ:S△ABC=1:3,求S△APQ:S△ABQ的值.
【答案】
(1)解:由题意得,PQ平行于BC,则AP:AB=AQ:AC,AP=4x,AQ=30﹣3x
∴ =
∴x=
(2)解:假设两三角形可以相似, 情况1:当△APQ∽△CQB时,CQ:AP=BC:AQ,
即有 = 解得x= ,
经检验,x= 是原分式方程的解.
此时AP= cm,
情况2:当△APQ∽△CBQ时,CQ:AQ=BC:AP,
即有 = 解得x=5,
经检验,x=5是原分式方程的解.
此时AP=20cm.
综上所述,AP= cm或AP=20cm;
故答案为: cm或20cm
(3)解:当S△BCQ:S△ABC=1:3时, = ,
∴ ,
∴CQ:AC=1:3,AC=30,∴CQ=10=3x,x= ,∴AP=4x= ,
∴AP:AB= :20=2:3.
【解析】(1)当PQ∥BC时,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于AP,PQ,AB,AC的比例关系式,我们可根据P,Q的速度,用时间x表示出AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值.(2)本题要分两种情况进行讨论.已知了∠A和∠C对应相等,那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值;(3)根据等高面积比等于底的比,即可得到结论.
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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【题目】如图,已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB、AO的延长线于点D、E,AE交半圆O于点F,连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;
(2)①求证:CF=OC; ②若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象交于A,B两点,与x轴交于C点,与y轴交于D点;点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】如图是某超市地下停车场入口的设计图,请根据图中数据计算CE的长度.(结果保留小数点后两位;参考数据:sin22°=0.3746,cos22°=0.9272,tan22°=0.4040)
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E位DC边上的点,连结BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连结EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为( )
A.15°
B.10°
C.20°
D.25°
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【题目】阅读下面材料:在数学课上,老师给同学们布置了一道尺规作图题: 尺规作图:作Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.已知:如图1,正比例函数和反比例函数的
图象分别交于M、N两点.
要求:在y轴上求作点P,使得∠MPN为直角.
小丽的作法如下:如图2,以点O为圆心,以OM长为半径作⊙O,
⊙O与y轴交于P1、P2两点,则点P1、P2即为所求.
老师说:“小丽的作法正确.”
请回答:小丽这样作图的依据是
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.
(1)以图中的点O为位似中心,在网格中画出△ABC的位似图形△A1B1C1 , 使△A1B1C1与△ABC的位似比为2:1;
(2)若△A1B1C1的面积为S,则△ABC的面积是
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【题目】已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.
①求 的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
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