Question

【题目】如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x

∴ =

∴x=

（2）解：假设两三角形可以相似， 情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有 = 解得x= ，
经检验，x= 是原分式方程的解．
此时AP= cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有 = 解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP= cm或AP=20cm；
故答案为： cm或20cm
（3）解：当S△BCQ：S△ABC=1：3时， = ，

∴ ，

∴CQ：AC=1：3，AC=30，∴CQ=10=3x，x= ，∴AP=4x= ，

∴AP：AB= ：20=2：3．

【解析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；（3）根据等高面积比等于底的比，即可得到结论．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．