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【题目】如图,已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB、AO的延长线于点D、E,AE交半圆O于点F,连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;
(2)①求证:CF=OC; ②若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长.

【答案】
(1)解:结论:DE是⊙O的切线.

理由:∵四边形OABC是平行四边形,

又∵OA=OC,

∴四边形OABC是菱形,

∴OA=OB=AB=OC=BC,

∴△ABO,△BCO都是等边三角形,

∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°,

∵OB=OF,

∴OG⊥BF,

∵AF是直径,CD⊥AD,

∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°,

∴四边形BDCG是矩形,

∴∠OCD=90°,

∴DE是⊙O的切线.


(2)①证明由(1)可知:∠COF=60°,OC=OF,

∴△OCF是等边三角形,

∴CF=OC.

②解:在Rt△OCE中,∵OC=12,∠COE=60°,∠OCE=90°,

∴OE=2OC=24,EC=12

∵OF=12,

∴EF=12,

的长= =4π,

∴阴影部分的周长为4π+12+12


【解析】(1)结论:DE是⊙O的切线.首先证明△ABO,△BCO都是等边三角形,再证明四边形BDCG是矩形,即可解决问题;(2)①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题;②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题.

练习册系列答案
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已知:如图,
求证:
(2)证明命题

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A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

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A.5
B.4
C.
D.

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(2)当△APQ与△CQB相似时,AP的长为
(3)当SBCQ:SABC=1:3,求SAPQ:SABQ的值.

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