Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，△ABE和△ACF都是等边三角形，若AD：BC=12：25，且AB＞AC，求：

S△DBE

S△DAF

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：利用已知首先得出∠DBE=∠DAF，进而得出△ABD∽△CAD，进而求出△DBE∽△DAF，即可得出

S△DBE

S△DAF

=（

DB

DA

）²，再求出BD，AD的长即可得出答案．

解答：解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAD ①
∵△ABE和△ACF都是正三角形，
∴∠ABE=∠CAF ②
①+②，得∠DBE=∠DAF ③
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90° ④
∴由 ①和 ④可知△ABD∽△CAD
∴

BD

AD

=

AB

AC

⑤
而AB=BE，CA=AF，
∴

BD

AD

=

BE

AF

⑥
∴由 ③和 ⑥可知△DBE∽△DAF（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
∴

S△DBE

S△DAF

=（

DB

DA

）²（相似三角形面积比等于相似比的平方）
∵

AD

BC

=

12

25

，
∴AD为12个单位长，BC为25个单位长．
由射影定理可知 DA²=BD•DC=BD•（BC-BD）=BC•BD-BD²
即 BD²-25BD+12²=0，
解得BD=16 或 BD=9．
∵AB＞AC，
∴由⑤可知

BD

AD

=

AB

CA

＞1，
∴BD＞AD=12，
∴BD=16个单位长． （BD=9不合条件，应舍去）
∴

S△DBE

S△DAF

=（

DB

DA

）²=（

16

12

）²=

16

9

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及射影定理等知识，得出BD，AD的长是解题关键．