Question

（2012•福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是

5 -1

2

，cosA的值是

5 +1

4

．（结果保留根号）

Answer 1

分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；
过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．

解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-∠A

2

=72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴

AC

BC

=

BC

CD

，
设AD=x，则BD=BC=x．则

1

x

=

x

1-x

，
解得：x=

-1- 5

2

（舍去）或

5 -1

2

．
故x=

5 -1

2

．
如右图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD，
∴E为AB中点，即AE=

1

2

AB=

1

2

．
在Rt△AED中，cosA=

AE

AD

=

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

．
故答案是：

5 -1

2

；

5 +1

4

．

点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．