Question

【题目】 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠AEB的大小不变，为135°；（2）90；∠ABO为60°或45°．

【解析】

（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

解：（1）∠AEB的大小不变，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=×90°=45°，

∴∠AEB=135°；

（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，

∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，

∴∠EAF=(∠BAO+∠GAO)=×180°=90°．

故答案为：90；

∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，

∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(∠BOQ-∠BAO)=∠ABO，

即∠ABO=2∠E，

在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：

①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；

②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；

③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；

④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．

∴∠ABO为60°或45°．