Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠BAC=90', AB=AC, AE是过点A的一条直线，且点B, C在AE的异侧，BD⊥AE于点D, CE⊥AE于点E.

(1)求证: BD=DE +CE ;

(2)若当直线AE旋转到图②位置时，判断BD与DE，CE的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BD=DE-CE，理由详见解析.

【解析】

（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD＝EAC，AB＝AC，则可判定Rt△BDA≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；

（2）由题中条件同（1）可证Rt△BDA≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系．

（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠EAC＝90，

∴∠ABD＝∠EAC，

在Rt△BDA和Rt△AEC中，，

∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS），

∴BD＝AE，AD＝CE，

∴BD＝AE＝AD＋DE＝DE +CE；

（2）BD＝DECE，

理由：∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠EAC＝90°，

∴∠ABD＝∠EAC，

在Rt△BDA和Rt△AEC中，，

∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS），

∴BD＝AE，AD＝CE，

∴BD＝AE＝DEAD＝DECE．