Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程-x²+bx+c=0的解为

 

；
（2）求此抛物线的解析式和顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）中直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，3两点，所以方程的解为x₁=-1，x₂=3．
（2）方法一：由图象看出抛物线的对称轴为x=1，则-

b

2a

=1，再代入交点坐标（3，0），即得抛物线的解析式．利用顶点公式求出顶点坐标（1，4）；
方法二：设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
方法三：或者利用交点式y=-（x-x₁）（x-x₂），求出解析式y=-（x+1）（x-3），然后求出顶点坐标（1，4）．

解答：解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点，
∴方程的解为x₁=-1，x₂=3（1分）

（2）解法一：由图象知：抛物线y=-x²+bx+c的对称轴为x=1，
且与x轴交于点（3，0）
∴

- b 2×(-1) =1 -32+3b+c=0

（3分）
解得：

b=2 c=3

（4分）
∴抛物线的解析式为：
y=-x²+2x+3
顶点（1，4）（5分）
解法二：设抛物线解析式为
y=-（x-1）²+k（2分）
∵抛物线与x轴交于点（3，0）
∴（3-1）²+k=0（3分）
解得：k=4（4分）
∴抛物线解析式为
y=-（x-1）²+4
即：抛物线解析式为
y=-x²+2x+3
顶点（1，4）（5分）
解法三：由（1）x₁=-1，x₂=3可
得抛物线解析式为
y=-（x-3）（x+1）（3分）
整理得：抛物线解析式为
y=-x²+2x+3
顶点（1，4）（5分）

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．