Question

【题目】如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足 BD＝CD， 过 D 作 DE⊥AC 于 E，DF⊥AB 交 BA 的延长线于 F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有______

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．

∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE＝DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；

∴CE＝AF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正确；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF＝∠DCE，

∴A、B、C、D四点共圆

∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；

由A、B、C、D四点共圆也得到∠DAE＝∠CBD，

∵Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠DAE＝∠DAF，

∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④.

故填：①②③④