Question

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为

CF

的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）连接EC，AD为△ABC的角平分线，得∠1=∠2，又AD⊥BE，可证∠3=∠4，由对顶角相等得∠4=∠5，即∠3=∠5，由E为

CF

的中点，得∠6=∠7，由BC为直径得∠E=90°，即∠5+∠6=90°，由AD∥CE可证∠2=∠6，从而有∠3+∠7=90°，证明结论；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由∠3=∠4得AM=AB=3，则CM=AC-AM=2，由（1）可证△CME∽△BCE，利用相似比可得EB=2EC，在Rt△BCE中，根据BE²+CE²=BC²，得BE²+（

BE

2

）²=4²，可求BE．

解答：（1）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4（1分）
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，（2分）
又∵E为

CF

的中点，
∴

EF

=

CE

，
∴∠6=∠7，（3分），
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；（4分）

（2）解：∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5（5分）
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2（6分）
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME∽△BCE，得

EC

EB

=

MC

CB

=

2

4

=

1

2

，（7分）
∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE²+CE²=BC²，
即BE²+（

BE

2

）²=4²，
解得BE=

8

5

5

．（8分）

点评：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解．