Question

1．如图1，平面直角坐标系x0y中，点A（0，2），B（1，0），C（-4，0）点D为射线AC上一动点，连结BD，交y轴于点F，⊙M是△ABD的外接圆，过点D的切线交x轴于点E．
（1）判断△ABC的形状；
（2）当点D在线段AC上时，
①证明：△CDE∽△ABF；
②如图2，⊙M与y轴的另一交点为N，连结DN、BN，当四边形ABND为矩形时，求tan∠DBC；
（3）点D在射线AC运动过程中，若$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{DE}{DF}$的值．

Answer 1

分析 读题知（1）已知三个点的坐标，可以求出相应线段的长度，运用三角函数可以证明∠ACO=∠BAO，进一步证明∠BAC=90°；
（2）只需证明∠CDE=∠ABD，∠DCE=∠BAF，即可证明相似；
当四边形ABND为矩形时，根据直角三角形AOB和直角三角形ABN相似，可求AN长度，进一步求出OM，运用三角函数求解即可；
（3）根据点D在线段AC上，和线段AC的延长线上分别讨论求解．

解答 解：由点A（0，2），B（1，0），C（-4，0）可知：OA=2，OC=4，OB=1，
在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，根据勾股定理可求：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（1）在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，所以∠ACO=∠BAO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BAO+∠CAO=90°，∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）①由（1）知：∠BAC=90°，∴BD是圆M的直径，
∵DE是圆M的切线，∴∠BDE=90°．
∴∠CDE+∠ADB=90°，又∠ADB+∠ABD=90°，∴∠CDE=∠ABD，
∵∠DCE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAF=90°，∴∠DCE=∠BAF
∴△CDE∽△ABF．
②当四边形ABND为矩形时，∵∠ABN=90°，∴AN是圆的直径，由OB是直角三角形ABN的斜边上的高线，由∠BAO=∠BA0，∠BOA=∠ABN=90°，
∴△AOB∽△ABN，
∴$\frac{AB}{AN}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴AB²=OA×AN，
∵OA=2，AB=$\sqrt{5}$，可求：AN=$\frac{5}{2}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$，OM=MN-ON=$\frac{3}{4}$，
在直角三角形OBN中，
tan∠DBC=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{3}{4}$．
（3）若点D 在线段AC上，
如图2：由①知△CDE∽△ABF可得：$\frac{DE}{BF}=\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，AC=2$\sqrt{5}$，
由$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，可得：CD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，AD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
在直角三角形ABD中，由勾股定理可求：BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，
∴△BFO∽△BED，
∴$\frac{OF}{ED}=\frac{OB}{BD}$，
设：DE=2x，则BF=3x，由勾股定理得：OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-1}$，
∴$\frac{\sqrt{（3x）^{2}-1}}{2x}=\frac{1}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}$，解得：x=$\frac{5\sqrt{5}}{33}$，
∴DE=$\frac{10\sqrt{5}}{33}$，BF=$\frac{5\sqrt{5}}{11}$，DF=BD-DF=$\frac{40\sqrt{5}}{33}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{4}$，

若点D在线段AC的延长线上，
如图3：∵DE是圆M的切线，
∴∠BDE=90°
∴∠EDC+∠CDB=90°
∵∠ABD+∠CDB=90°
∴∠EDC=∠ABD，
∵∠DEB+∠DBE=90°，∠DBE+∠OFB=90°
∴∠DEB=∠OFB，
∴△CDE∽△ABF，可得：$\frac{DE}{BF}=\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，AC=2$\sqrt{5}$，
由$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，可得：CD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，∴AD=AC+CD=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{365}}{3}$，
∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，
∴△BFO∽△BED，
∴$\frac{OF}{ED}=\frac{OB}{BD}$，
设：DE=2x，则BF=3x，
由勾股定理得：OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-1}$，
∴$\frac{\sqrt{（3x）^{2}-1}}{2x}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{365}}{3}}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{365}}{57}$，
∴DE=2x=$\frac{2\sqrt{365}}{57}$，BF=3x=$\frac{3\sqrt{365}}{57}$，DF=BD-DF=$\frac{16\sqrt{365}}{57}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{8}$．
综上所述：$\frac{DE}{DF}$的值是$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{8}$．

                         图3

点评 此题主要考察二次函数与圆的综合性问题，熟练应用勾股定理，相似的性质和判定，以及圆的相关性质是解题的关键．