【题目】(1)问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE和AF数量关系_____．
(2)类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0°＜α≤360°)，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)解决问题：若BC＝DF＝2，在(2)的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．
【答案】(1)BE＝AF；(2)成立；(3)AE的最大值为3．
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，证明△BDE≌△ADF，即可得出结论；
(2)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，证明△BDE≌△ADF，即可得出结论；注意两种情况讨论；
(3)当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE，求出DE的长，即可得出结果．
解：(1)∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，
∵四边形DFGE是正方形，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF＝90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF
故答案为：BE＝AF；
(2)成立；理由如下：
当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，
∵四边形DFGE为正方形，
∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF；
当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：
∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF；
综上所述，(1)中的结论BE＝AF成立；
(3)在△ADE中，∵AE＜AD+DE，
∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：
则AD＝
BC＝1，DE＝DF＝2，
∴AE＝AD+DE＝3，
即AE的最大值为3．
阳光试卷单元测试卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围.
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】经过实验获得两个变量 x(x 0), y( y 0) 的一组对应值如下表。
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 7 | 3.5 | 2.33 | 1.75 | 1.4 | 1.17 | 1 |
（1）在网格中建立平面直角坐标系，画出相应的函数图象，求出这个函数表达式；
（2）结合函数图象解决问题：（结果保留一位小数）
①
的值约为多少？
②点A坐标为（6,0），点B在函数图象上，OA=OB,则点B的横坐标约是多少？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】为响应市委、市政府创建“森林城市”的号召，某中学在校园内计划种植柳树和银杏树．已知购买2棵柳树苗和3棵银杏树苗共需1800元，购买4棵柳树苗和1棵银杏树苗共需1100元．
(1)求每棵柳树苗和每棵银杏树苗各多少钱？
(2)该校计划购买两种树苗共100棵，并且银杏树苗的数量不少于柳树苗的
，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，抛物线
的图象与
轴交于
两点(点
在点
的左边)与
轴交于点
,抛物线的顶点为
.
(1)求点
的坐标；
(2)点
为线段
上一点(点
不与点重合)，过点作轴的垂线，与直线
交于点
，与抛物线交于点
，过点作
交抛物线于点
，过点作
轴于点
,可得矩形
.如图，点在点左边，当矩形的周长最大时，求此时的
的面积；
(3)在(2)的条件下，当矩形的周长最大时，连接
，过抛物线上一点
作轴的平行线，与直线交于点
(点在点的上方)若
，求点的坐标.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，△ABC与 △ADE中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD、CE，∠EAC=∠DAB.
（1）求证：△ABC ∽△ADE；
（2）求证：△BAD ∽△CAE；
（3）已知BC=4，AC=3，AE=
．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求 BD的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某市植物园于2019年3月-5月举办花展，按照往年的规律推算，自4月下旬起游客量每天增加
人，游客量预计将在5月1日达到高峰，并持续到5月4日，随后游客量每天有所减少.已知4月24日为第一天起，每天的游客量
（人）与时间
（天）的函数图像如图所示，结合图像提供的信息，解答下列问题：
已知该植物园门票
元/张，若每位游客在园内每天平均消费
元，试求5月1日-5月4日，所有游客消费总额为多少元？
当
时，求关于的函数解析式.
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