Question

20．观察、发现：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$=$\sqrt{2}$-1
（1）试化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$；
（2）直接写出：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）求值：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$．

Answer 1

分析 根据题目给出的过程即可求出答案．

解答 解：（1）原式=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
（2）原式=$\frac{（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；

故答案为：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
（3）由（2）可知：
原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=-1+$\sqrt{100}$
=9

点评 本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式，属于基础题型．