Question

8．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接BO，求BO的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质，得CH是角平分线，根据角平分线性质得：OD=OE，根据切线的判定得出结论；
（2）连接OE，先求高线CH的长，及BH和BE的长，设未知数，根据勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算即可．

解答 证明：（1）如图1，∵AC=BC，CH是高，
∴CH平分∠ACB，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴OD=OE，
∵OD是半径，
∴OE也是半径，
∴⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，连接OE，则OE⊥AC，
∵CH⊥AB，⊙O过点H，
∴AB与⊙O相切，
由（1）知：BC与⊙O相切，
∴BH=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=BC=5，
∴CE=5-3=2，
由勾股定理得：CH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
设OH=x，则OE=x，OC=4-x，
则（4-x）²=x²+2²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：OB=$\sqrt{B{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，常利用以下方法证明切线：①有垂直，证明垂线段是半径；②作垂直，证明是半径；常见的辅助线有：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．