Question

17．如图，⊙O的半径是3，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点M是弧$\widehat{APB}$上的任意一点（与A、B不重合），MN⊥AB于N，以M为圆心，MN为半径作⊙M，分别过A、B作⊙M的切线，两切线交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）求∠ACB的大小；
（3）设△ABC的面积为S，若S=4$\sqrt{3}$MN²，求⊙M的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OP与AB的交点为Q，则△OAQ为直角三角形，且OA=3，OQ=$\frac{3}{2}$，借助勾股定理可求得AQ的长；
（2）判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙M是△ABC的内切圆，所以AM和BM分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠MAN+∠MBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠MAN+∠MBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知S=S_△ABM+S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE），结合圆M切线的性质推知∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，在直角△CEM中，利用勾股定理求得CE的长度，则CD=CE=$\sqrt{3}$ME=$\sqrt{3}$MN．由已知条件S=4$\sqrt{3}$MN²推知4$\sqrt{3}$MN²=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE）•MN，由此求得MN的值，即圆M的半径．

解答 解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为Q，则有OA=3．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OQ=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{2}$，AQ=BQ，
在Rt△OAF中，
∵AQ=$\sqrt{O{A}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{9-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=2AQ=3$\sqrt{3}$．

（2）连接AD、BD，
由（1），OQ=$\frac{3}{2}$，AQ=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠AOP=$\frac{AQ}{OQ}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∵点M为△ABC的内心，
∴∠CAB=2∠MAN，∠CBA=2∠MBA，
∵∠MAN+∠MBA=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠MOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°．

（3）取AC、BC与圆M的切点分别是D、E，连接OM、MD、MC、ME，则有MD=ME=MN，MD⊥AC，ME⊥MC，
∴S=S_△ABM+S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$AB•MN+$\frac{1}{2}$BC•ME+$\frac{1}{2}$AC•MD=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）•MN=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE），
∵DE、CD是圆M的切线，
∴∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴在直角△CEM中，CE=$\sqrt{3}$ME，
∴CD=CE=$\sqrt{3}$ME=$\sqrt{3}$MN．
∵S=4$\sqrt{3}$MN²，
∴4$\sqrt{3}$MN²=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE）•MN，
∴MN=1，即圆M的半径是1．

点评 本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．