Question

（1）已知：如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：△ACE≌△BCD
（2）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

Answer 1

证明：（1）∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△BCD≌△ACE．

（2）解：假设O为圆形截面所在圆的圆心过O作OC⊥AB于D，交AB于C，
∵OC⊥AB，
∴．
由题意可知，CD=4cm．　
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm．
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD²+BD²=OB²，
∴（x-4）²+8²=x²．
∴x=10．即这个圆形截面的半径为10cm．
分析：（1）先根据∠ACB=∠DCE可得出∠BCD=∠ACE，由SAS定理可知△BCD≌△ACE；
（2）假设O为圆形截面所在圆的圆心过O作OC⊥AB于D，交AB于C，由垂径定理可得出BD，CD的长，设半径为xcm，在Rt△BOD利用勾股定理即可得出x的值．
点评：本题考查的是垂径定理的应用，全等三角形的判定定理及勾股定理，解答此类问题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．