Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，D为斜边BC上的中点，E，F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6，则S_△DEF=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：过点D作DG⊥AB于G，作DH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质可得DG=BG=DH=CH，∠GDH=90°，根据同角的余角相等求出∠EDG=∠FDH，然后利用“角边角”证明△EDG和△FDH全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，EG=FH，设DG=BG=DH=CH=x，DE=DF=y，根据BE、CF的长度列出方程组求出x、y，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据等腰直角三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点D作DG⊥AB于G，作DH⊥AC于H，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点，
∴DG=BG=DH=CH，∠GDH=90°，
∴∠EDG+∠EFH=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠FDH+∠EDH=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
在△EDG和△FDH中，

∠EDG=∠FDH DG=DH ∠DGE=∠DHF=90°

，
∴△EDG≌△FDH（ASA），
∴DE=DF，EG=FH，
设DG=BG=DH=CH=x，GE=HF=y，
∵BE=8，CF=6，
∴

x+y=8 x-y=6

，
解得

x=7 y=1

，
∴DE=

72+12

=5

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×（5

2

）²=25．
故答案为：25．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造成全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．