Question

如图，Rt△ABC，BC=AC，∠C=90°，AE平分∠BAC，且ED⊥AB于D，求证：EC=BD．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：先求出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，再求出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD=DE，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE，然后等量代换即可得证．

解答：证明：∵BC=AC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵ED⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∵∠C=90°，AE平分∠BAC，ED⊥AB，
∴EC=DE，
∴EC=BD．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并判断出等腰直角三角形是解题的关键．