【题目】若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1,和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
【答案】(1) y=(x-1)2+3和y=2(x-1)2+3(答案不唯一);(2)y2 =x2 -2x+1,0.
【解析】
(1)根据“同簇二次函数”的定义写出两个即可;
(2)将A代入y1=2x24mx+2m2+1中,可求出y1与x的函数关系式,并求出此抛物线的顶点坐标,从而求出y1+y2与x的函数关系式,再根据“同簇二次函数”的定义即可求出b、c,从而求出函数y2的表达式,最后根据二次函数的性质自变量的取值范围和对称轴的位置关系求最值即可.
(1)根据“同簇二次函数”的定义:两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,
故这两个二次函数可以为:y=(x-1)2+3和y=2(x-1)2+3;
(2)把A(1,1)代入y1=2x24mx+2m2+1得24m+2m2+1=1,
解得m=1,则y1=2x24x+3=2(x-1)2+1,
∴y1=2x24x+3顶点坐标为(1,1),且y1+y2=3x2+(b4)x+c+3
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”
∴
解得:b=-2,c=1
y2 =x2 -2x+1
此抛物线的开口向上,对称轴为:
∴0≤x≤3包含对称轴
∴当时,y2取最小值,此时y2=0,当x=3时,y2取最大值,此时y2=4
∴0
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+(a>0,b<0)的图象与x轴只有一个公共点A
(1)当a=时,求点A的坐标;
(2)过点A的直线y=x+k与二次函数的图象相交于另一点B,当b≥﹣1时,求点B的横坐标m的取值范围
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【题目】如图①抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.
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【题目】某校开展校园“美德少年”评选活动,共有“助人为乐”,“自强自立”、“孝老爱亲”,“诚实守信”四种类别,每位同学只能参评其中一类,评选后,把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计,制作了如下统计表,后来发现,统计表中前两行的数据都是正确的,后两行的数据中有一个是错误的.
类别 | 频数 | 频率 |
助人为乐美德少年 | a | 0.20 |
自强自立美德少年 | 3 | b |
孝老爱亲美德少年 | 7 | 0.35 |
诚实守信美德少年 | 6 | 0.32 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)统计表中的a= ,b ;
(2)统计表后两行错误的数据是 ,该数据的正确值是 ;
(3)校园小记者决定从A,B,C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位,用画树状图或列表的方法,求A,B都被采访到的概率.
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【题目】已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
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【题目】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
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【题目】某校在“校园体育文化节”活动中组织了“球类知识我知道”的竞赛活动,从初三年级1200名学生中随机抽查了100名学生的成绩(满分30分),整理得到如下的统计图表:
成绩(分) | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 5 | 8 | 15 | 9 | 11 | 12 | 8 | 6 | 4 |
频率统计表
成绩分组 | 频数 | 频率 |
15≤x<18 | 3 | 0.03 |
18≤x<21 | a | 0.12 |
21≤x<24 | 20 | 0.20 |
24≤x<27 | 35 | 0.35 |
27≤x≤30 | 30 | b |
频数分布直方图
请根据所提供的信息解答下列问题:
(1)样本的众数是 分,中位数是 分;
(2)频率统计表中a= ,b= ;补全频数分布直方图;
(3)请根据抽样统计结果,估计该次竞赛中初三年级成绩不少于21分的大约有多少人?随机抽取一名同学的成绩,其值不小于24分的概率是多少?
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【题目】如图所示的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题:
(1)将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位,在图中画出平移后的△A1B1C1.
(2)作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2.
(3)求B1的坐标 C2的坐标 .
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【题目】某种商品每天的销售利润(元)与销售单价(元)之间满足关系:,其图像如图所示.
(1)销售单价为多少元时,这种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)若该商品每天的销售利润不低于12元,则销售单价的取值范围是_____.
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