Question

12．如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作菱形BDEF，当点A，E，F在同一直线上时，∠F的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接AC交BD于O，作BM⊥AF于M．想办法证明BF=2BM，即可推出∠F=30°，即可解决问题．

解答 解：连接AC交BD于O，作BM⊥AF于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OD=OC，
∵AF∥BD，
∴AF⊥AC，
∴∠MAO=∠AOB=∠BMA=90°，
∴四边形AMBO是正方形，
∴OA=BM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$BF，
在Rt△BMF中，∵BF=2BM，
∴∠F=30°，
∴tan∠F=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查正方形的性质、矩形的判定就和性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．