Question

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB，BC分别在x轴，y轴上，点D在第二象限，AB=8，BC=6，矩形ABCD沿OD方向以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P从点A出发沿折线AD-DC以每秒1个单位长度向终点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD也停止运动，设点P的运动时间为r（s），△PDo的面积为S（平方单位），
（1）当t=5时，直接写出点B，P的坐标；
（2）当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P在边DC上运动，点P到直线OD的距离等于点P到坐标轴的距离的$\frac{1}{3}$时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）当图形运动到第5秒时，此时点P在AB上，由此得到OB=5，AP=5，BD=10，由平移过程中∠ABD保持不变，所以利用三角函数的定义可以求出B点坐标，接着可以求出A的坐标，也就求出P的坐标；
（2）分两种情况：P在边AD上和P在边DC上，AP=t，OB=t，再确定出矩形各顶点的坐标，用t表示出△OPD的边PD和PD上的高，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）首先用t表示出△DPE和△DBC的边，再证得△DPE∽△DBC，根据相似三角形的对应边成比例得到关于t的方程，解方程即可求得结论．

解答 （1）∵矩形ABCD，AB=8，BC=6，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵sin∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{3}{5}$，cos∠ABD=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
当图形运动到第5秒时，
此时点P在AB上，OB=5，AP=5，
∵∠x′OD=∠ABD，
∴B点坐标为（-4，3），
∴点A坐标为（-12，3），
∴点P的坐标为（-12，8）；

（2）分两种情况：①0＜t＜6时，点P在AD上运动，此时OB=t，AP=t，OD=t+10，
∴B（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
∴A（-$\frac{4}{5}$t-8，$\frac{3}{5}$t），
∴D（-8-$\frac{4}{5}$t，6+$\frac{3}{5}$t），
P（-$\frac{4}{5}$t-8，$\frac{8}{5}$t），
∴DP=6+$\frac{3}{5}$t-$\frac{8}{5}$t=6-$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{3}{5}$t）（$\frac{4}{5}$t+8）=-$\frac{6}{25}$t²+24；
②6＜t＜14时，点P在DC上运动，此时OB=t，DP=t-6，OD=t+10，
∴B（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
∴A（-$\frac{4}{5}$t-8，$\frac{3}{5}$t），
∴D（-8-$\frac{4}{5}$t，6+$\frac{3}{5}$t），
P（$\frac{1}{5}$t-14，6+$\frac{3}{5}$t），
∴S=$\frac{1}{2}$（t-6）（$\frac{3}{5}$t+6）=$\frac{3}{10}$t²+$\frac{6}{5}$t-18；
综上所述：s与t之间的函数关系式是：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{6}{25}{t}^{2}+24（0＜t＜6）}\\{\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{6}{5}t-18（6＜t＜14）}\end{array}\right.$；

（3）如图，∵D（-8-$\frac{4}{5}$t，6+$\frac{3}{5}$t），DP=t-6，
∵∠PDE=∠BDC，∠PED=∠C=90°，
∴△DPE∽△DBC，
∴$\frac{PE}{BC}$=$\frac{PD}{BD}$，
∴$\frac{PE}{6}$=$\frac{t-6}{10}$，
∴PE=$\frac{3t-18}{5}$，P到坐标轴的距离=6+$\frac{3}{5}$t，
由题意得$\frac{3t-18}{5}$=$\frac{1}{3}$（6+$\frac{3}{5}$t），
解得：t=4．

点评 此题主要考查的是矩形的性质，相似三角形、三角函数，二次函数平移等多个知识结合在一起的综合题，解本题的关键是（2）分类讨论的思想解决问题．