【题目】如图,已知二次函数的图像经过点A(-1,-1)和点B(3,-9).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离.
【答案】(1)y=x2﹣4x﹣6;(2)对称轴为x=2;顶点坐标为(2,﹣10);(3)m=6,点Q到x轴的距离为46.
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法确定二次函数的解析式;
(2)把(1)中得到的解析式配成顶点式,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴.
(3)将P(m,m)坐标代入y=x2﹣4x﹣6,得m=m2﹣4m﹣6,解方程求得m的值,根据题意得到m=6,从而求得P的坐标,根据点P与点Q关于对称轴x=2对称,所以点Q到x轴的距离为6.
解:(1)将A(﹣1,﹣1)和点B(3,﹣9)代入y=ax2﹣4x+c,
得解得,
所以二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6;
(2)由y=x2﹣4x﹣6=(x﹣2)2﹣10可知:
对称轴为x=2;顶点坐标为(2,﹣10);
(3)将P(m,m)坐标代入y=x2﹣4x﹣6,得m=m2﹣4m﹣6.
解得m1=﹣1,m2=6.
因为m>0,所以m=﹣1不合题意,舍去.所以m=6,
所以P点坐标为(6,6);
因为点P与点Q关于对称轴x=2对称,所以点Q到x轴的距离为46.
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【题目】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ⊥DP,使得PQ交线段BC于点E,设AP=x.
(1)当x为何值时,△APD是等腰三角形?
(2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)若BC的长a可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若不存在,请说明理由;若存在,写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C,并求出相应的AP的长.
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【题目】一个图案上各点的横坐标都不变,纵坐标变为原来的相反数,但图案却未发生任何变化,则下列叙述中,正确的是( )
A. 原图案各点一定都在x轴上 B. 原图案各点一定都在y轴上
C. 原图案是轴对称图形,对称轴是x轴 D. 原图案是轴对称图形,对称轴是y轴
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【题目】在菱形ABCD中,∠BAD=120°,射线AP位于该菱形外侧,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE、DE,直线DE与直线AP交于F,连接BF,设∠PAB=α.
(1)依题意补全图1;
(2)如图1,如果0°<α<30°,判断∠ABF与∠ADF的数量关系,并证明;
(3)如图2,如果30°<α<60°,写出判断线段DE,BF,DF之间数量关系的思路;(可以不写出证明过程)
(4)如果60°<α<90°,直接写出线段DE,BF,DF之间的数量关系.
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【题目】下列各组线段能组成一个三角形的是( )
A. 4cm,6cm,11cm B. 4cm,5cm,1cm
C. 3cm,4cm,5cm D. 2cm,3cm,6cm
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