Question

6．已知E是圆内接四边形ABCD的边CD的延长线上一点，I是△ABC的内心，若∠ABC=70°，∠ACB=60°，DE=DA，则∠DEI的度数是25°．

Answer 1

分析 连接AI、CI．在△ABC中，由三角形的内角和定理可知：∠BAC=50°，因为⊙I是△ABC的内切圆，所以∠1=$\frac{1}{2}∠ACB=30°$，∠2=$\frac{1}{2}∠CAB=25°$，由圆内接四边形的性质可知∠EDA=70°，由等腰三角形的性质可知∠DEA=55°，然后可证明∠DEA+∠AIC=180°，故点E、A、I、C共圆，所以∠DEI=25°．

解答 解：如图所示：

解：连接AI、CI．
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-60°=50°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠ACB=30°$，∠2=$\frac{1}{2}∠CAB=25°$．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠EDA=∠B=70°．
∵DE=DA，
∴∠DEA=∠DAE=$\frac{1}{2}×（180°-70°）$=55°．
在△ACI中，∠AIC=180°-∠1-∠2=125°．
∴∠DEA+∠AIC=180°．
∴点E、A、I、C共圆．
∴∠DEI=∠2=25°．
故答案为：25°．

点评 本题主要考查的是三角形的内切圆、圆内接四边形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，证得点E、A、I、C共圆是解题的关键．