Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，交DE于G，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P运动时间为ts．
（1）点D到BC的距离DH的长是$\frac{12}{5}$；
（2）当四边形BQGD是菱形时，t=$\frac{3}{2}$，S_△PQR=$\frac{378}{125}$；
（3）令QR=y，求y关于t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；
（2）根据D，E分别是边AB，AC的中点，得到DE∥BC，得到四边形BQGD是平行四边形，于是得到当BD=BQ时．?BQGD是菱形，即可得到t的值，如图1，过P作PN⊥QR于N，由△PQN∽△ABC，求得PN=$\frac{36}{25}$，由△CQR∽△CBA，求得RQ=$\frac{21}{5}$，即可得到结果；
（3）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于t的函数关系式；
（4）画出图形，根据图形进行讨论：①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，得到∠1=∠C．于是得到cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，根据$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，即可求出t的值；②当PQ=RQ时，-$\frac{3}{5}$t+$\frac{123}{25}$=$\frac{12}{5}$，即可求出t的值；③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$AC=2．由于tanC=$\frac{QR}{CR}$=$\frac{BA}{CA}$，即可得到结果．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴$\frac{DH}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴DH=$\frac{BD}{BC}$•AC=$\frac{3}{10}$×8=$\frac{12}{5}$；
故答案为：$\frac{12}{5}$；

（2）∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∵QR∥AB，
∴四边形BQGD是平行四边形，
∴当BD=BQ时．?BQGD是菱形，
∵AB=6cm，AC=8cm，
∴tanB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB=3，BH=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{9}{5}$，
∴3=t+$\frac{9}{5}$，
∴t=$\frac{6}{5}$，
∴当四边形BQGD是菱形时，t=$\frac{6}{5}$，
如图1，过P作PN⊥QR于N，
∴∠PQN+∠RQC=∠RQC+∠C=90°，
∴∠PQN=∠C，
∴△PQN∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{PN}{AB}$，
∵PQ=DH=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{\frac{12}{5}}{10}=\frac{PN}{6}$，
∴PN=$\frac{36}{25}$，
∵RQ∥AB，
∴△CQR∽△CBA，
∴$\frac{CQ}{CB}=\frac{RQ}{AB}$，
∵CQ=BC-BQ=7，
∴$\frac{7}{10}=\frac{RQ}{6}$，
∴RQ=$\frac{21}{5}$，
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$QR•PN=$\frac{1}{2}×\frac{36}{25}×\frac{21}{5}$=$\frac{378}{125}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\frac{378}{125}$，

（3）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴$\frac{RQ}{AB}$=$\frac{QC}{BC}$，
∵BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴BQ=$\frac{9}{5}$+t，
∴$\frac{y}{6}$=$\frac{10-\frac{9}{5}-t}{10}$，
即y关于x的函数关系式为：y=-$\frac{3}{5}$t+$\frac{123}{25}$；

（4）存在，分三种情况：
①如图2当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（-\frac{3}{5}t+\frac{123}{25}）}{\frac{12}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{9}{5}$．
②如图3，当PQ=RQ时，-$\frac{3}{5}$t+$\frac{123}{25}$=$\frac{12}{5}$，
∴t=$\frac{21}{5}$．
③如图4，作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$AC=2．
∵tanC=$\frac{QR}{CR}$=$\frac{BA}{CA}$，
∴$\frac{-\frac{3}{5}t+\frac{123}{25}}{2}$=$\frac{6}{8}$，
∴t=$\frac{73}{3}$．
综上所述，当t为$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$或$\frac{73}{3}$时，△PQR为等腰三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答．