Question

2．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，双曲线经过点B．
（1）求双曲线；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与双曲线交于点E、F，求直线EF的解析式．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$（k≠0），根据正方形的面积公式可求得点B的坐标，从而求得k值．
（2）先根据正方形的性质求得点F的纵坐标和点E的横坐标，代入反比例函数解析式求得其坐标，利用待定系数法求得直线EF的解析式．

解答 解：（1）设双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴OA=OC=2，
∴点B坐标为（2，2），
将x=2，y=2代入反比例解析式得：2=$\frac{k}{2}$，
∴k=2×2=4，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，
∴ON=OM=2AO=4，
∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．
∵点E、F在函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴当x=4时，y=1，即E（4，1），
当y=4时，x=1，即F（1，4）．
设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4m+n=1\\ m+n=4\end{array}\right.$，
∴m=-1，n=5．
∴直线EF的解析式为y=-x+5．

点评 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力．