在平面直角坐标系内.点O为坐标原点.抛物线y=ax2+bx的顶点在直线y=-$\frac{1}{2}$x-1上.且该抛物线经过点A(4.0).设抛物线的顶点为D.抛物线对称轴交x轴于点H．(1)求该抛物线的解析式,点C在抛物线的对称轴上.当|AC-BC|的值最大.直接写出点C的坐标,的条件下.点D关于x轴对称点为E.是否在对称轴右侧抛物线上存在一点F.使∠FEC-∠BCD=135°?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx（a≠0）的顶点在直线y=-$\frac{1}{2}$x-1上，且该抛物线经过点A（4，0），设抛物线的顶点为D，抛物线对称轴交x轴于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点B（1，3）点C在抛物线的对称轴上，当|AC-BC|的值最大，直接写出点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点D关于x轴对称点为E，是否在对称轴右侧抛物线上存在一点F，使∠FEC-∠BCD=135°？若存在，求出点F的横坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据抛物线的对称性求出点D的横坐标，再代入直线y=-$\frac{1}{2}$x-1，再将A，D两点代入解析式y=ax²+bx（a≠0），据此即可求出抛物线的解析式；
（2）先画出图，并求出点B的对称点B′的坐标，根据两边之差小于第三边，以及抛物线的对称性可知当点C在直线AB′上，据此进行解答即可得解；
（3）根据抛物线的对称性，以及解三角形的知识进行解答，据此即可得解．

解答解：（1）如图1，∵A（4，0），
∴OA=4
由抛物线对称性可知 OH=HA=2
∴D点横坐标为2，
∵点D在直线$y=-\frac{1}{2}x-1$上
∴$y=-\frac{1}{2}×2-1=-2$，
∴D（2，-2），
∵y=ax²+bx过点A（4，0），D（2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{4a-2b=-2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$；

（2）如图2
点B关于抛物线的对称轴的对称点B′的坐标是（3，3），
设直线AB′的解析式为：y=kx+b，
将点A（4，0）和点B′（3，3）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为：y=-3x+12，
与对称轴的交点坐标是：C（2，6），
此时|AC-BC|的值最大，
∴C（2，6）；

（3）如图3，
∵∠FEC-∠BCD=135°，
∴180°-∠DEF-∠BCD=135°，
∴∠DEF+∠BCD=45°，
∵C（2，6），
∴OH=2，CH=6，
∴tan∠1=$\frac{1}{3}$，
作EG∥CO交x轴于G，连接GD
由对称性可知GE=GD，HE=HD=2，
∴∠2=∠3
∴tan∠2=$\frac{GH}{EH}=\frac{1}{3}$，
∴GH=$\frac{2}{3}$，OG=$\frac{4}{3}$，
∵OH=HD，
∴∠4=∠ODH=45°，OD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$
作GM⊥OD于M，在Rt△GOM中，
sin∠4=$\frac{GM}{OG}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴GM=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴OM=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴MD=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴tan∠5=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2}$，
∵∠5+∠3=45°，
∴∠5+∠1=45°，
∴∠6=∠5，
∴tan∠6=$\frac{1}{2}$，
作FN⊥ED于N，设点F的横坐标为t，
∴F（t，$\frac{1}{2}{t}^{2}-2t$），
∴FN=2-t EN=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t+2$，$\frac{t-2}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t+2}=\frac{1}{2}$
∴t=±$2\sqrt{3}$，
∵点F在对称轴右侧抛物线上，
∴t＞2，
∴t=$2\sqrt{3}$，
点F的横坐标为$2\sqrt{3}$．

点评（1）题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出点D的坐标是解题的关键；（2）题考查了运用抛物线上的点的对称性求最值的问题，以及三角形的三边关系；（3）题主要考查了解直角三角形的知识，以及抛物线上的点的表示方法，综合性很强，要注意认真总结．

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