Question

1．已知：△ABC中，AB=10
（1）如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；
（2）如图②，若点A₁、A₂把AC边三等分，点B₁、B₂把BC边三等分，求A₁B₁+A₂B₂的值；
（3）如图③，若点A₁、A₂、…、A₁₀把AC边十一等分，点B₁、B₂、…、B₁₀把BC边十一等分，根据你所发现的规律，直接写出A₁B₁+A₂B₂+…+A₁₀B₁₀=50．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理进行计算；
（2）设A₁B₁=x，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理列方程求解；
（3）根据（1）和（2）的解答过程，发现每一条线段的长和总线段之间的关系：有n等分点的时候，则A₁B₁=$\frac{10}{n}$，A₂B₂=$\frac{20}{n}$，…A_n-1B_n-1=$\frac{10（n-1）}{n}$．

解答 解：（1）∵D、E分别是AC、BD的中点，且AB=10，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=5；

（2）设A₁B₁=x，则A₂B₂=2x．
∵A₁、A₂是AC的三等分点，且A₁B₁∥A₂B₂∥AB，
∴A₂B₂是梯形A₁ABB₁的中位线，即：x+10=4x，得x=$\frac{10}{3}$，
∴A₁B₁+A₂B₂=10；

（3）同理可得：A₁B₁+A₂B₂+…+A₁₀B₁₀=$\frac{10}{11}$+$\frac{20}{11}$+$\frac{30}{11}$+…+$\frac{100}{11}$=50．
故答案为：50．

点评 本题考查了三角形的中位线定理和梯形的中位线定理，找出规律是解题的关键．